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Límites en el infinito

Analizaremos el comportamiento de las funciones definidas gráficamente cuando x crece indefinidamente y cuando x decrece indefinidamente

a) Si x crece indefinidamente la función f(x) se acerca a 0.   b) Si x decrece indefinidamente, los valores de la función se acercan a 0.	a) Si x crece indefinidamente la función f(x) se acerca a 2.   b) Si x decrece indefinidamente, los valores de la función se acercan a 2.
La recta y = 0 es asíntota horizontal de la función.	La recta y = 2 es asíntota horizontal de la función.
a) Si x crece indefinidamente la función f(x) se acerca a 2.   b) Si x decrece indefinidamente, los valores de la función se acercan a -2.	a) Si x crece indefinidamente la función f(x) se aproxima a 3.   b) Si x decrece indefinidamente, los valores de la función se aproximan a -1.
Las rectas y = 2 e y = -2 son asíntotas horizontales de la función.	Las rectas y = 3 e y = -1 son asíntotas horizontales de la función.

En el primer ejemplo anotamos .

Recordemos que ¥ no representa un número. La expresión anterior expresa que el límite de f(x) cuando x crece o decrece indefinidamente es cero.

El comportamiento de funciones que se aproximan a un número cuando la variable crece o decrece indefinidamente (x ® +¥ , x ® -¥) se indica de la siguiente manera:

Simbólicamente se escribe	Gráficamente:
para indicar que la función tiende a L cuando los valores de x crecen indefinida- mente.
para indicar que la función tiende a L cuando los valores de x decrecen indefinidamente.

Formalizando la definición de límite de una función que tiende a un número finito cuando la variable independiente tiende a +¥ ó a -¥, resulta:

Definición.

Las propiedades referidas al álgebra de límites válidas si "x® a" se cumplen también si "x® +¥ " y "x® –¥".

Ejemplo. Calcule .

Cuando x toma valores grandes, es pequeño. Tomando x suficientemente grande, puede hacerse tan pequeño como queramos. Por lo tanto .

Por otra parte

y como el límite de la diferencia es la diferencia de los límites resulta: = 3 – 0 = 3

Problema. Se proyecta que dentro de t años, la población de cierto pueblo será p(t) = miles de personas. ¿Qué se espera que suceda con la población a medida que el tiempo transcurre indefinidamente?    

Solución. Para determinar el comportamiento de la función cuando el tiempo transcurre indefinidamente se debe calcular el límite.

Cuando t ® +¥ , también t +1® +¥ y, por lo tanto, ® 0.

En consecuencia = 20. Esto expresa que a medida que el tiempo transcurre, la población tiende a estabilizarse en 20 000 personas.

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