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Límites infinitos

Analicemos, a partir de su gráfica, la existencia de los límites.

si x ® 0+ los valores de la función crecen indefinidamente. si x ® 0- los valores de la función decrecen indefinidamente	si x ® 1+ los valores de la función decrecen indefinidamente. si x ® 1- los valores de la función crecen indefinidamente.
Las dos ramas de la curva se acercan cada vez más al eje y a medida que x se aproxima a cero. Para esta gráfica la recta x = 0 es asíntota vertical.	Las dos ramas de la curva se acercan cada vez más a la recta  x = 1 a medida que x se aproxima a ese valor. Para esta gráfica la recta x = 1 es asíntota vertical.
si x ® 0+ los valores de la función crecen indefinidamente. si x ® 0- los valores de la función crecen indefinidamente.	si x ® 0+ los valores de la función decrecen indefinidamente. si x ® 0- los valores de la función decrecen indefinidamente.
Para esta gráfica la recta x = 0 es asíntota vertical.	Para esta gráfica la recta x = 0 es asíntota vertical.

El comportamiento de estas funciones no puede describirse con la idea y el concepto de límite que se ha estudiado hasta ahora.

Analizando nuevamente la función y = , se observa en la gráfica que cuando x ® 0⁺, los valores de f crecen más allá de todo tope. Por lo tanto f no tiene límite cuando x ® 0⁺. Sin embargo resulta conveniente decir que f(x) se aproxima a ¥ cuando x ® 0⁺. Se escribe .

Esto no significa que el límite existe ni que +¥ es un número real, sino que expresa que la función se hace tan grande como deseamos escogiendo x suficientemente cercano a cero.

Resumen

Simbólicamente se escribe:	Gráficamente:
para indicar que los valores de la función crecen indefinidamente (sin tope) cuando x se acerca a "a" por izquierda y por derecha.
para indicar que los valores de la función decrecen indefinidamente (sin tope) cuando x se aproxima a "a" por valores menores y mayores que él.
para indicar que los valores de la función crecen indefinidamente cuando x se aproxima a "a" por valores menores que él.   para indicar que los valores de la función decrecen indefinidamente cuando x se aproxima a "a" por valores mayores que él.
para indicar que los valores de la función decrecen indefinidamente cuando x se acerca a "a" por valores menores que él. para indicar que los valores de la función crecen indefinidamente cuando x se acerca a "a" por valores mayores que él.

Nota. Cuando se refiere a límites infinitos en realidad no son límites sino que proporcionan símbolos y un lenguaje útiles para describir el comportamiento de funciones cuyos valores se hacen arbitrariamente grandes (positivos o negativos).

Ejemplo. Sea la gráfica de la función f(x) = :

Observando la gráfica se puede escribir: y

Trazando rectas horizontales de ordenada N y -N, tan grandes como se quiera en valor absoluto, quedan determinados dos puntos sobre la gráfica (a₁, -N) y (a₂, N) tal que para x Î (a₁, a₂) los respectivos valores absolutos de f(x) superan a N. De esta manera, al aproximarse x a 3 por izquierda o por derecha, se obtienen ordenadas que superan cualquier valor real preestablecido.

Del análisis de este ejemplo se formaliza la definición de la noción de límite de una función que tiende a +¥ ó a -¥ cuando la variable tiende a un número finito.

Definición.

si dado un número N > 0, $ d > 0 / f(x) > N siempre que 0 < ½ x - a½ < d .

si dado un número N < 0, $ d > 0 / f(x) < N siempre que 0 < ½ x - a½ < d .

Ejemplos. Determine los siguientes límites

a)                           b)                       c)

a) =

Cuando x ® 3 el denominador tiende a cero y la expresión tiende a ¥ .

Cuando x se aproxima a 3 por derecha, la expresión es negativa pues el numerador es negativo y cada uno de los factores del denominador es positivo. Por lo tanto, el límite es -¥ .

b)=

Cuando x ® 3 el denominador tiende a cero y la expresión tiende a ¥ .

Cuando x se aproxima a 3 por izquierda, la expresión es positiva, pues el numerador es negativo, el factor (x + 3) es positivo y (x - 3) negativo. Por lo tanto, el límite es +¥ .

c) El límite para x ® 3 no existe.

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