Definición de límite de una función

Teorema de unicidad del límite

Enunciado. Si una función y = f(x) tiene límite, el mismo es único.

Hipótesis. f(x) = L y f(x) = L^*

Tesis. L = L^*

Demostración. Por definición de límite:

f(x) = L si dado e > 0, $ d ₁> 0 / si 0 < ½ x - a½ < d ₁ Þ (1)

f(x) = L^* si dado e > 0, $ d ₂> 0 / si 0 < ½ x - a ½ < d ₂ Þ (2)

Si a la expresión ½ L - L ^*½ se le suma y resta f(x), se obtiene:

½ L - L^* ½ = ½ L- L^* + f(x) - f(x)½ = ½ (f(x) - L^*) - (f(x) - L)½

Recordando la propiedad de valor absoluto: ½ a - b½ £ ½ a½ + ½ b½ resulta:

½ (f(x) - L^*) - (f(x) - L)½ £ ½ f(x) - L½ + ½ f(x) - L^* ½

Por (1) y (2) se obtiene:

½ L - L^*½ " x : 0 < ½ x - a½ < d

El único número no negativo que es menor a otro positivo por pequeño que sea es el cero.

½ L - L^*½ = 0 Þ L = L^*

Se ha demostrado que, si existe, el límite de una función es único.