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La
indeterminación
Se analizará el límite del cociente de dos funciones polinomiales en el que la variable crece o decrece indefinidamente. Se debe tener en cuenta que el límite de una función polinomial de grado n ³ 1 cuando x tiende a +¥ ó a -¥ es +¥ ó -¥ . Para resolver límites de este tipo, se dividen el numerador y el denominador de la función dada por xn, siendo n el mayor de los grados de las funciones polinomiales. Luego se aplican las propiedades de los límites.
Ejemplo.
Halle 
La función dada consiste en el cociente de dos funciones polinomiales: una de grado 4 y otra de grado 3. Por lo tanto, se dividen el numerador y el denominador por x4 y resulta:
En el ejemplo dado, el grado de la función polinomial del numerador es mayor que el de la del denominador y se obtuvo en este caso ¥.
Ejemplo.
Determine 
Se dividen el numerador y denominador por x3:
.
Puede observarse que el ejemplo se refiere al cálculo del límite del cociente de dos funciones polinomiales del mismo grado y se obtuvo como resultado el cociente de los coeficientes de los términos de mayor grado de ambas.
Ejemplo.
Calcule 
.
Se dividen el numerador y denominador por x4:
En este ejemplo, el grado de la función polinomiales del numerador es menor que el de la del denominador y se obtuvo como resultado cero.
Nota.
Al calcular
, donde p(x) y q(x) son dos funciones polinomiales, se obtiene:
a) el cociente de los coeficientes de los términos de mayor grado de la función polinomial del numerador y la del denominador, si ambas tiene el mismo grado.
b) +¥ ó –¥ si el grado de la función polinomial del numerador es mayor que el de la del denominador.
c) 0 si el grado de la función polinomial del numerador es menor que el de la del denominador.
Problema.
Un tanque contiene 5000 litros de agua pura. Se bombea al tanque salmuera
que contiene 30 gramos de sal por litro de
agua, a razón de 25 
.
La concentración de sal después
de t minutos es: C(t) =
(en
).
a) ¿Cuánto tiempo
tiene que transcurrir para que la concentración sea de 10
?
b) ¿Qué sucede con la concentración cuando el tiempo transcurre indefinidamente?
Solución
a) Para determinar el tiempo que debe transcurrir para
que la concentración sea de 10 ,
se debe igualar la concentración a 10.
10 =
Þ 2000 + 10t =
30t Þ 20t =
2000 Þ t =
100
Es decir, a los 100 minutos la
concentración será de 10.
b)
Para analizar el comportamiento de la concentración cuando el
tiempo transcurre indefinidamente, se debe encontrar el límite
cuando t ® +¥
, es decir 
.
Como es un cociente de dos funciones polinomiales, se dividen el numerador
y el denominador por t y se obtiene:
Cuando t ®
+¥ la concentración
tiende a 30 
.
| Le proponemos resolver algunos ejercicios para que compruebe sus conocimientos. |
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