[Ir a
El problema del área][Ir a
El problema de la distancia] [Ir a
Inicio]
| CONCLUSIONES
DE LOS DOS PROBLEMAS ANALIZADOS |
El método
desarrollado en los dos planteos estudiados
al analizar el problema del área
(cálculo del área bajo la gráfica de f(x)
= +
de
x = 0 a x =
3 y cálculo de la intensidad de la luz acumulada) puede
generalizarse para encontrar el área bajo la curva y =
f(x), el eje x y las rectas verticales x =
a y x = b según
se muestra en los gráficos. Para aproximar el área se puede
dividir la región bajo la curva en un número de rectángulos
cada vez más grande. En cada caso la suma de las áreas de
los rectángulos de una aproximación del área bajo la
curva. Se obtienen mejores aproximaciones al incrementar el número
n de rectángulos. En general procedemos de la siguiente manera. Sea
n un entero positivo. Dividimos el intervalo de a a b en n partes de igual
longitud. El símbolo D
x se usa tradicionalmente para denotar la longitud de
cada subintervalo. Como la longitud del intervalo
entero es (b -
a), cada una de las n partes tiene
longitud D
x =
. Cada
una de estas longitudes representan las medidas de las bases de todos los
rectángulos.
Los puntos
extremos de los n intervalos son x0,
x1,
....., xn.
En cada rectángulo
resulta: Área del i-ésimo rectángulo
= f(xi)
D x
También podemos elegir
algún punto intermedio en cada uno de los n intervalos y los
llamamos t1,
t2,
....., tn.
En ese caso el área del i-ésimo rectángulo
resulta f(ti)
D x.
Caso
3
El área total bajo la curva es aproximada por
la suma de las áreas de todos los n rectángulos, es decir:
Caso
1: Área =
f(x0)
D x + f(x1)
D x + f(x2)
D x + ………………………
+ f(xn–1)
D x
Área =
[f(x0)
+ f(x1)
+ f(x2)
+ ……………………… + f(xn–1)]
D x
(se
utiliza el valor de la función en el extremo izquierdo de cada
subintervalo)
Volver
Caso
2 : Área =
f(x1)
D x + f(x2)
D x + f(x3)
D x + ………………………
+ f(xn)
D x
Área =
[f(x1)
+ f(x2)
+ f(x3)
+ ……………………… + f(xn)]
D x
(se
utiliza el valor de la función en el extremo derecho de cada
subintervalo)
Volver
Caso
3: Área =
f(t1)
D x + f(t2)
D x + f(t3)
D x + ………………………
+ f(tn)
D x
Área =
[f(t1)
+ f(t2)
+ f(t3)
+ ……………………… + f(tn)]
D x
(se
utiliza el valor de la función en un punto cualquiera de cada
subintervalo)
Volver
El área se define como el límite
de cada una de estas sumas (en caso de que las mismas existan) cuando el número
de rectángulos se hace cada vez mayor y tiende a infinito (podemos
pensar e imaginar que la medida de la base de cada rectángulo es un
punto)
Área =
[f(x0)
+ f(x1)
+ f(x2)
+ ……………………… + f(xn–1)]
D x
Área =
[f(x1)
+ f(x2)
+ f(x3)
+ ……………………… + f(xn)]
D x
Área =
[f(t1)
+ f(t2)
+ f(t3)
+ ……………………… + f(tn)]
D x
Cuando estudiamos el problema del área
y el problema de la distancia analizamos que tanto el valor del área
debajo de la gráfica de una función como la distancia
recorrida por un objeto se puede calcular aproximadamente por medio de
sumas o bien exactamente como el límite de una suma.
Para tener
en cuenta:
- para hallar el área
debajo de una curva necesitamos resolver un tipo especial de límite.
- para
hallar cantidades acumuladas necesitamos resolver un tipo especial
de límite.
- si f(x) es la razón
de cambio de una función F(x) entonces el cambio total en
F(x) cuando x pasa de a a b es el área entre la gráfica
de f(x) y el eje x entre x = a y x = b. (f es una función tal
que f sea continua sobre el intervalo [a, b] y f(x)
³ 0 para todo x en [a, b]). Esto se
conoce como Cambio total en F(x).
|
Este tipo de límite aparece
en una gran variedad de situaciones incluso cuando f no es necesariamente
una función positiva. Teniendo en cuenta lo expresado surge la
necesidad de dar un nombre y una notación a este tipo de límites.
Necesitamos definir:
[Ir
a El problema del área][Ir a
El problema de la distancia] [Ir a
Inicio]
