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Ver Ejemplo

Queremos calcular el área comprendida entre f(x) y g(x).

Hallamos los puntos de intersección de las dos funciones f y g. Esos puntos son a, b, c y nos determinan una subdivisión del intervalo total en dos subintervalos [a, b] y [b, c]. Si obtenemos la integral definida sobre todo el intervalo de la diferencia de las funciones f y g resulta:

I es una integral definida pero no representa un área pues pero . Pero obtendremos el área si hacemos:

   es decir:

Es importante destacar que, en todos los casos, para calcular el área de la región limitada por las gráficas de f y g y las rectas x = a y x = b se resuelve la teniendo en cuenta que f y g son continuas en [a, b] y que además g(x) £ f(x) para todo x del intervalo de trabajo.

Ejemplo: encuentre el área comprendida entre la gráfica de la función f(x) = x³ + x² - 2x con el eje de abscisas. Graficamos la curva para obtener gráficamente el área:

Para hallar las intersecciones con el eje de abscisas calculamos las raíces, planteando f(x) = 0, o sea;

x³ + x² - 2x = 0 Þ x.(x² + x - 2) = 0 Þ x₁ = 0 , x₂ = - 2 , x₃ = 1

El área que está sobre el eje de abscisas se determina resolviendo y el área debajo del eje de abscisas mediante .

Resolviendo las integrales planteadas:

= = =

= = = =

El área buscada resulta la suma de las dos áreas anteriores y es » 3,08.

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Generalizando la situación anterior:

El área sombreada surge de la suma de dos áreas A₁ y A₂:

· f(x) > 0 en el intervalo [a, b] resulta: A₁ =

· f(x) < 0 en el intervalo [b, c] resulta: A₂ = =

Área =  +

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