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Muchas leyes físicas se descubrieron durante el mismo período histórico en el que estaba siendo desarrollado el cálculo. Durante los siglos XVII y XVIII existía poca diferencia entre ser un físico o un matemático.

ESPACIO RECORRIDO EN UN MOVIMIENTO RECTILÍNEO

Para un objeto con movimiento rectilíneo la función posición, s(t), y la función velocidad, v(t), se relacionan por s(t) = .

De este hecho y del teorema fundamental del cálculo se obtiene: = = s(t₂) - s(t₁)

La posición del objeto en el instante  t₁  está expresada por  s(t₁)  y  s(t₂)   es  la posición en el instante t₂, la diferencia s(t₂) - s(t₁)  es  el  cambio de posición o desplazamiento del objeto durante el intervalo de tiempo [t₁, t₂].

Un desplazamiento positivo significa que el objeto está más hacia la derecha en el instante t₂ que en el instante t₁, y un desplazamiento negativo significa que el objeto está más hacia la izquierda. En el caso en que v(t) ³ 0 en todo el intervalo de tiempo [t₁, t₂], el objeto se mueve en la dirección positiva solamente, de este modo el desplazamiento s(t₂) - s(t₁) es lo mismo que la distancia recorrida por el objeto.

En el caso en que v(t) £ 0 en todo el intervalo de tiempo, el objeto se mueve en la dirección negativa solamente, por tanto, el desplazamiento s(t₂) - s(t₁) es el negativo de la distancia recorrida por el objeto.

En el caso en que v(t) asuma valores tanto positivos como negativos durante el intervalo de tiempo [t₁, t₂], el objeto se mueve hacia adelante y hacia atrás y el desplazamiento es la distancia recorrida en la dirección positiva menos la distancia recorrida en la dirección negativa. Si quiere encontrarse la distancia total recorrida en este caso (distancia recorrida en la dirección positiva más la distancia recorrida en la dirección negativa) debe integrarse el valor absoluto de la función velocidad, es decir:

distancia total recorrida durante el intervalo de tiempo [t1, t2]

=

Un objeto se mueve con movimiento rectilíneo de modo tal que su velocidad en el instante t es v(t) = t² - 2t metros por segundo. Halle:

a) el desplazamiento del objeto durante los tres primeros segundos.

b) la distancia recorrida durante ese tiempo.

a) = = = 0.

Esto significa que el objeto se encuentra en la misma posición en el instante t = 3 que en el instante t = 0.

b) La velocidad puede escribirse como v(t) = t ( t - 2) de modo que v(t) ³ 0 si 2 £ t £ 3 y la velocidad es negativa si 0 £ t £ 2.

La distancia recorrida es:

=

==

distancia recorrida = = .

Podemos asegurar que la distancia recorrida es de metros.

TRABAJO

El concepto de trabajo es importante para los científicos e ingenieros cuando necesitan determinar la energía necesaria para realizar diferentes tareas físicas. Es útil conocer la cantidad de trabajo realizado cuando una guía eleva una viga de acero, cuando se comprime un muelle, cuando se lanza un cohete o cuando un camión transporta una carga por una carretera. En el lenguaje cotidiano, coloquial, el término trabajo se una para indicar la cantidad total de esfuerzo requerido para realizar una tarea. En física tiene un significado técnico que está en relación con la idea de fuerza. Intuitivamente se puede pensar una fuerza como el hecho de empujar un objeto o tirar de él. Decimos que se hizo un trabajo cuando una fuerza mueve un objeto. Si la fuerza aplicada al objeto es constante, tenemos la definición siguiente de trabajo.

• TRABAJO REALIZADO POR UNA FUERZA CONSTANTE

Si un objeto se mueve una distancia d en la dirección de una fuerza constante F aplicada sobre él, entonces el trabajo w realizado por la fuerza se define como w = F . d

Existen muchos tipos de fuerzas: centrífuga, gravitacional, etc. Una fuerza cambia el estado de reposo o de movimiento de un cuerpo. Para las fuerzas gravitacionales en la tierra se suelen utilizar unidades de medida correspondientes al peso de un objeto.

Cuando la fuerza es constante todo parece sencillo pero cuando se aplica una fuerza variable a un objeto se necesita el cálculo para determinar el trabajo realizado ya que la fuerza varía según el objeto cambia de posición.

• TRABAJO REALIZADO POR UNA FUERZA VARIABLE

Supongamos que un objeto se mueve a lo largo de una línea recta desde x = a hasta x = b debido a una fuerza que varía continuamente F(x). Consideramos una partición que divide al intervalo [a, b] en n subintervalos determinados por a = x₀ £ x₁ £ x₂ £ x₃ £ ......... £ x_n-1 £ x_n = b donde D x_i indica la amplitud o longitud del i-ésimo subintervalo, es decir D x_i = x_i - x_i-1. Para cada i escogemos c_i tal que x_i-1 £ c_i £ x_i. En c_i la fuerza está dada por F(c_i). Dado que F es continua y suponiendo que n es grande, D x_i es pequeño. Los valores de f no cambian demasiado en el intervalo [x_i-1, x_i] y podemos concluir que el trabajo realizado w_i al mover el objeto por el subintervalo i-ésimo (desde x_i-1 hasta x_i) es aproximadamente el valor F(c_i). D x_i

Sumando el trabajo realizado en cada subintervalo, podemos aproximar el trabajo total realizado por el objeto al moverse desde a hasta b por w @ = .

Esta aproximación mejora si aumentamos el valor de n. Tomando el límite de esta suma cuando n ® ¥ resulta w = =

Si un objeto se mueve a lo largo de una recta debido a la acción de una fuerza que varía continuamente F(x), entonces el trabajo realizado por la fuerza conforme el objeto se mueve desde x = a hasta x = b está dado por w = .

PRESIÓN Y FUERZA EJERCIDAS POR UN FLUIDO

• PRESIÓN DE UN FLUIDO

Los nadadores saben que cuanto más profundo se sumerge un objeto en un fluido mayor es la presión sobre el objeto. Las compuertas de las represas se construyen más gruesas en la base que en la parte superior porque la presión ejercida contra ellas se incrementa con la profundidad. Para calcular la presión de un fluido se emplea una ley física importante que se conoce como el principio de Pascal. Muchos de los trabajos de Pascal fueron intuitivos y carentes de rigor matemático pero anticiparon muchos resultados importantes. El principio de Pascal establece que la presión ejercida por un fluido a una profundidad h es la misma en todas direcciones. La presión en cualquier punto depende únicamente de la profundidad a la que se halla el punto. En un fluido en reposo, la presión p a una profundidad h es equivalente a la densidad w del fluido por la profundidad, p = w . h. Definimos la presión como la fuerza que actúa por unidad de área sobre la superficie de un cuerpo.

• FUERZA EJERCIDA POR UN FLUIDO SOBRE UNA SUPERFICIE CON PROFUNDIDAD CONSTANTE

Dado que la presión de un fluido aparece en términos de fuerza por unidad de área, p = , la fuerza total que ejerce el fluido contra la base en un recipiente con base plana horizontal se puede calcular multiplicando el área de la base por la presión sobre ella F = p . A = presión . área . Teniendo en cuenta la fórmula para calcular la presión resulta el valor de la fuerza F = w . h . A

• FUERZA EJERCIDA POR UN FLUIDO SOBRE UNA SUPERFICIE CON PROFUNDIDAD VARIABLE

Supongamos que una placa sumergida verticalmente en un fluido de densidad w se desplaza desde y = a hasta y = b sobre el eje y. La fuerza ejercida por el fluido contra un lado de la placa es F = w . donde h(y) es la profundidad y L(y) es la longitud horizontal medida de izquierda a derecha sobre la superficie de la placa al nivel y.

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